samedi 13 août 2016

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (5)

Dans son livre “Mathématiques pour la représentation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d’images” (éditions Ellipses), Lionel Garnier définit ainsi une surface parallèle à une cyclide (CD4) : «La surface parallèle, de paramètre ε, à une CD4 de paramètres a, c et μ est la CD4 de paramètres a, c et μ + ε.», en voici une illustration, la cyclide mère est représentée en totalité, tandis que la surface parallèle est coupée par le plan vertical de symétrie.

 Le fond est dû à  Thomas Söll ;
http://pstricks.blogspot.fr/2012/11/paysages-au-crepuscule-peints-avec.html

Cette animation a aussi été réalisée avec le package animate d'Alexander Grahn, en voici le listing à compiler pour en produire le pdf contenant l'animation.

\documentclass{article}
\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{times,mathtime}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pst-solides3d,pst-plot}
\usepackage{pst-slpe}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{animate}
\title{Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (5)}
\date{13 août 2016}
\author{manuel.luque27@gmail.com}
\begin{document}
Dans son livre ``\textit{Mathématiques pour la représentation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d'images}'' (éditions Ellipses), Lionel Garnier définit ainsi une surface parallèle à une cyclide (CD4) :
<<\textit{La surface parallèle, de paramètre $\epsilon$, à une CD4 de paramètres $a$, $c$ et $\mu$ est la CD4 de paramètres $a$, $c$ et $\mu+\epsilon$.}>>, en voici une illustration, la cyclide \textit{mère} est représentée en totalité, tandis que la surface parallèle est coupée par le plan vertical de symétrie.
\begin{center}
\begin{animateinline}[controls,palindrome,
                     begin={\begin{pspicture}(-6,-4)(8,6)},
                     end={\end{pspicture}}]{20}% 20 images/s
\multiframe{35}{r=4.5+0.25}{%
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=100 70 40 rtp2xyz,Decran=30,lightsrc=viewpoint}
\psset{solidmemory}
\psframe[fillstyle=ccslope,sloperadius=14.3,slopeangle=-90,slopebegin=blue!10!white,slopeend=blue!10!black,
slopecenter={0.5 0},slopesteps=2000,linewidth=0pt,fading=true,startfading=0,endfading=1](-6,-4)(8,6)
\psset{linewidth=0.01,linecolor=blue}
\pstVerb{/a1 9 def /c1 3 def /mu 4 def /b1 a1 dup mul c1 dup mul sub sqrt def}%
\defFunction[algebraic]{CyclideDupin}(u,v){(mu*(c1-a1*cos(u)*cos(v))+b1^2*cos(u))/(a1-c1*cos(u)*cos(v))} % x
                                          {(b1*sin(u)*(a1-mu*cos(v)))/(a1-c1*cos(u)*cos(v))} % y
                                          {(b1*sin(v)*(c1*cos(u)-mu))/(a1-c1*cos(u)*cos(v))} % z
\psSolid[object=surfaceparametree,
         function=CyclideDupin,name=cyclide1,action=none,
         base=0 2 pi mul 0 2 pi mul,ngrid=36 36,
         fillcolor=red!50,incolor=white](0,0,0)
\defFunction[algebraic]{CyclideDupin2}(u,v){(mu2*(c2-a2*cos(u)*cos(v))+b2^2*cos(u))/(a2-c2*cos(u)*cos(v))} % x
                                          {(b2*sin(u)*(a2-mu2*cos(v)))/(a2-c2*cos(u)*cos(v))} % y
                                          {(b2*sin(v)*(c2*cos(u)-mu2))/(a2-c2*cos(u)*cos(v))} % z
\pstVerb{/a2 9 def /c2 3 def /mu2 \r\space def /b2 a2 dup mul c2 dup mul sub sqrt def}%
\psSolid[object=surfaceparametree,
         function=CyclideDupin2,
         base=-1 pi mul 0  0 2 pi mul,ngrid=24 36,linecolor=blue,name=cyclide2,action=none,
         fillcolor=yellow!50,incolor=white](0,0,0)
\psSolid[object=fusion,base=cyclide1 cyclide2]
}
\end{animateinline}
\end{center}
\end{document} 


jeudi 11 août 2016

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (4)

Une animation analogue à celle réalisée précédemment avec Pov-Ray, mais cette fois-ci avec pst-solides3d :
Le fichier à compiler pour obtenir les images :
gif-tore-cyclide-spheres.tex

dimanche 7 août 2016

Les cyclides de Dupin avec Pov-Ray (suite)

Ceci est la suite, avec Pov-Ray de :
 J'avais déjà indiqué dans le document :
 l'analogie (en fait c’est quasiment le même problème) entre les cercles de Steiner et les sphères intérieures à la cyclide dont la cyclide en anneau est l’enveloppe, entre la transformation du tore en cyclide et celle qui transforme la famille de cercles tangents à 2 cercles concentriques en cercles de Steiner, voir la documentation du package ‘pst-steiner’.
C’est en quelque sorte le problème de la chaîne de cercles de Steiner en 3D.
Voici l'animation obtenue avec Pov-Ray, en projection sur le plan, on peut voir les ombres qui sont les cercles de Steiner.
Les fichiers sont ici :

jeudi 4 août 2016

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (3)

Cyclide obtenue par inversion d’un cylindre ou d’un cône.
Le précédent document traitait de l’inversion d’un tore, en particulier avec le package pst-cyclides. Celui-ci est consacré aux cylindres et cônes, ce qui donnera peut-être l’occasion de compléter le package avec ces objets.

Le document est ici (pdf et LaTeX).
inversion-cylindre-cone.pdf
inversion-cylindre-cone.tex
La première partie est dédiée à l'inversion directe d'un cylindre ou d'un cône, en voici quelques images :
Dans la deuxième partie, à partir des équations paramétriques du cylindre ou du cône, on calcule les équations paramétriques de la cyclide, en voici des images:





Le centre d’inversion est à l’intérieur du cylindre, l’objet et l’image s’interpénètrent.


La sphère d’inversion est tangente au cône.
Dans la troisième partie ces mêmes cyclides sont obtenues à partir des équations paramétriques générales des cyclides.
Pour terminer une animation obtenue avec Pov-Ray :

Dont voici les 2 fichiers :
cylindre-cyclide-2.ini
cylindre-cyclide-2.pov






mardi 2 août 2016

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (2)


 Pour obtenir les images :

\documentclass{article}
\usepackage[paperwidth=12cm,paperheight=10cm,hmargin={0cm,0cm},vmargin={0cm,0cm},dvips]{geometry}
\usepackage{pst-cyclides,multido}
\title{Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (1)}
\date{2 août 2016}
\author{manuel.luque27@gmail.com}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\def\nFrames{72}%
\newpsstyle{demi-Cyclide}{base=0 2 pi mul 0 1 pi mul,
ngrid=60 36,action=none,fillcolor=yellow!20,incolor=white}
\multido{\i=0+-5}{\nFrames}{
\begin{pspicture}(-7,-5)(5,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20](-7,-5)(5,5)
\psset{viewpoint=100 10 50 rtp2xyz,Decran=120,lightsrc=viewpoint}
\psCyclide[OnlyCyclide,
styleCyclide=demi-Cyclide,
HPrincipalCircles,linewidth=0.01,
Ellipse=false,InnerSphere,
iS=\i,linewidth=0.01,lightintensity=5]
\end{pspicture}\newpage}
\end{center}
\end{document}

L'animation est aussi réalisée avec le package animate, le fichier .tex et pdf sont inclus dans l'archive (voir les messages précédents).

Les cyclides de Dupin avec Pov-Ray


 Cette page est le complément de la représentation des cyclides avec pst-solides3d.
http://pstricks.blogspot.fr/2016/08/les-cyclides-de-dupin-avec-pst.html
Vous trouverez dans le fichier
cyclides-pov-ray.pdf
cyclides-pov-ray.tex
 les différentes possibilités pour représenter une cyclide avec Pov-Ray et les explications essentielles.
Le site :
propose une étude sur les cyclides de Dupin et un lien vers la page :
Alain Esculier offre de magnifiques images de cyclides avec l’objet correspondant et la sphère d’inversion, obtenues avec Pov-Ray. Je ne sais pas comment il a fait, mais je suppose qu’il a utilisé l’un des deux procédés que j’ai indiqué dans le document cité plus haut. Je n’ai pas dessiné la sphère d’inversion, mais la longueur des axes est celle du rayon de la sphère. Ces axes sont dus à Friedrich A. Lohmueller dont le site :
 est une mine de renseignements sur Pov-Ray et contient de merveilleuses réalisations.

Les images ci-dessous ont été obtenues avec les fichiers Pov-Ray inclus dans l'archive :

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (1)

Les cyclides de Dupin avec pst-solides3d (1)

Les cyclides de Dupin du nom de celui qui en a donné la première définition, Charles Dupin dans son mémoire :
Applications de géométrie et de méchanique à la marine, aux ponts-et-chaussées, etc.” ont connu de nombreux développements.
Parmi les plus récents, les travaux de Lionel Garnier et de ses collègues de l’université de Bourgogne sont très complets et offrent des développements sur la modélisation géométrique en 3D très intéressants. Lionel Garnier est l’auteur d’un livre “Mathématiques pour la représentation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d’images” qui donne une large place aux cyclides de Dupin et à leurs applications.

Vous trouverez ci-dessous les titres des chapitres du document où sont détaillés les calculs et la documentation du package pst-cyclides et quelques images.
documentation-pst-cyclides.zip
Le package se compose de 3 fichiers :
pst-cyclides.tex
pst-cyclides.sty
pst-cyclides.pro
ils sont dans l'archive citée ci-dessus.
1 Le calcul est fait directement par inversion d’un tore





On peut examiner le solide obtenu sous tous les angles et effectuer diverses coupes planes pour repérer les cercles principaux de la cyclide en utilisant le package ‘movie15’ d'Alexander Grahn. En voici une image, les calculs ont été faits avec pst-solides3d, la procédure est explicitée dans la documentation :

2 À partir des caractéristiques du tore, on calcule les rayons et positions des cercles principaux de la cyclide obtenue par inversion du tore pour déterminer les coefficients
des équations paramétriques de la cyclide
 Voici quelques images obtenues avec le package pst-cyclides :





4 Les prolongements possibles
Dans son livre Lionel Garnier traite de divers problèmes de raccordement entre deux solides par l’intermédiaire d’une portion de cyclide et en particulier du raccordement d’un cylindre sur un plan.


Supercyclide elliptique obtenue à partir de la cyclide en appliquant un coefficient différent à chacune de ses composantes.(pages 166 à 172 du livre de Lionel Garnier).